系统动力学：芥子纳须弥

2023-06-02 16:23:57来源：个人图书馆-汉无为

(相关资料图)

什么是好的建模

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正确地描述系统是解决系统中存在问题的前提,于是人们从各种角度、用不同的方法描述系统,形成了多种形式的系统模型。但是,由于社会经济系统的规模性、复杂性和动态性,完全定性的描述方法虽然可以正确描述系统,但不能对系统要素之间的相互制约和相互依存的关系等从整体联系的机理出发进行协调和优化,而完全定量的描述方法虽然可以较好地对系统要素之间的相互制约和相互依存的关系等从整体联系的机理出发进行协调和优化，但是建模和分析过程伴随了大量的抽象和简化。因此，结合定量与定性研究的方法——系统动力学得到了开发与长足应用。

”

系统动力学：概述

系统动力学（System Dynamics，SD）是一门分析研究复杂信息犯规系统的学科，1956年由美国麻省理工学院的Jay W.Forrester教授所创立，最初是为了解决生产管理与库存管理等企业运营中出现的系统仿真问题。系统动力学基于信息论和控制论，以系统结构的构建决定系统功能，随着70余年的发展在经济、管理、生态各个领域均得到了成熟而广泛的应用。

现代化系统动力学方法以计算机仿真为依托，基于对系统的分析与描述，结合定性与定量两方面的分析方法建立数学模型，进行对系统的模拟分析。系统动力学的具体分析步骤如下：

（1）明确研究和解决的问题，以及建模的目的；

（2）从行为模式出发，提出系统的结构假设；

（3）设计系统的因果关系图和流图，并列出方程及定义参数。从而将一系列系统动力学假设，通过清晰的数学关系式表示出来；

（4）基于所建立的模型建立计算机仿真程序，对模型进行测试并调整参数，确保系统能够有效、精确地模拟研究对象的行为。

系统动力学理论：基本概念

(1)因果关系

系统动力学对系统问题的建模研究基于对系统各变量之间内在的因果关系的分析，进而逐步建立描述系统内在行为模式的模型。通常使用因果关系图来对系统中各变量的因果关系进行直观描述。

在因果关系图中，形如A→B的箭头称为因果箭，表示原因A对结果B具有因果关系。因果箭具有极性，若A变化时B同向变化，则称A对B有正因果关系，在因果箭上用(+)表示。反之，若A变化导致B反向变化。称A对B有负因果关系，在因果箭上用(-)表示。

一系列首尾相接的因果箭称为因果链，表示因果链起点与终点的变量间的因果传递关系。因果链的极性与构成该因果链的极性为负的因果箭数量相关，若具有奇数条极性为负的因果箭，则该因果链极性为负，反之则为正。

(2)流图及其构成要素

流图（Flow Diagram）的构建是系统动力学建模的核心内容，所构建系统的框架与系统中物质与信息的交换关系能够通过流图进行有效的模拟。流图中通常包含以下用以刻画系统结构的要素：

存量（Level）用于描述系统中随时间而得到累积的物质与信息，这些物质与信息在特定时刻的积累值能够以该时刻相应存量的取值而得到观测与记录。

流量（Flow）本质上是系统物质变化速率或决策实施力度的体现，由于其类似导数的性质，流量的瞬间值无法观测，但是通过观测特定长度时间段内流量的变化，能够对物质在该段时间内的变化量进行了解。

辅助变量（Auxiliary Variable）为了反映决策过程而设置，存量与流量间的信息流动过程能够通过辅助变量进行解释，得到同时决策函数经辅助变量的描述得到了简化。

存量与流量在流图中的的一般表示形式，其中L为存量，R为流量

(3)反馈与延迟

反馈（Feedback）是仿真系统中系统对自身进行调节的方法，指系统发送出的信息作用于受控对象后产生的结果重新作用于输入，从而对系统地再输出产生影响的过程。反馈分为对系统产生自我强化作用的正反馈与产生自我抑制作用的负反馈，在因果关系图中，系统存在的反馈关系通过首尾相接的因果链（称为因果反馈回路）描述。

由于实际系统中物质与信息进行流动所需的时间不可忽略，故系统动力学的建模引入了延迟（Delay）这一概念。延迟按种类可分为物质延迟与信息延迟，分别表示物质在系统中流动时输出相对于输入的落后与信息在系统中传递时决策过程与认知过程中产生的滞后效应。系统动力学体系中使用平均延迟时间定量描述流量在传递过程中延迟的平均时间间隔长度与阶数。

系统动力学理论：方程体系

系统动力学的基础方程体系称为DYNAMO方程，由8种以大写字母作为特定标识的模型描述语句组成，以下介绍涉及系统变量变化的代数运算的三种方程。

(1)状态方程（L）

状态方程又称积累方程，用于在仿真中计算状态变量的积累。状态方程的离散形式为：

式中，LEVEL代表存量，INFLOW代表输入速率，outflow代表输出速率，J，K分别代表不同的时刻（此处K后于J），DT代表时刻J与时刻K之间的时间间隔。状态方程的积分形式为：

式中，lvS(t)表示t时刻存量值，rateS(t)表示该存量变化速率，S(t0)表示该存量在时刻的初始值，in_flowS(t)，out_flowS(t)分别表示输入速率与输出速率。

(2)速率方程（R）

速率方程用于计算存量变化的速率。

式中，aux(t)表示t时刻辅助变量取值，exo(t)表示t时刻外生变量取值，为常数。

(3)辅助方程（A）

辅助方程用于引入辅助变量以辅助建立速率方程，通常用于描述系统中信息流动的作用。辅助方程一般无固定格式，可以表示为：

式中，aux*(t)表示除待求变量之外的其他辅助变量。

实例：简单的供应链

供应链的库存管理是企业生产和销售活动中必不可少的环节，有效利用库存能够协调生产系统中各部门的生产速度，调节生产和消费的不同不行，从而提升生产效率，确保货物的供应。以下将基于系统动力学的建模思想，利用因果关系图和流图对基于供应链的库存管理系统进行分析与建模。在此过程中，使用系统动力学建模常用软件Anylogic软件进行流图的绘制。

库存量是库存系统的核心，消费使得库存量减小，订货则增加库存量。对于供应链管理者而言，由于仓储与订货均存在成本，因此库存管理的主要任务是如何在能够满足消费需求的前提下，以最低的成本进行订货和储存。因此，引入一个能够满足消费的预期目标作为期望库存量，以调节库存量，进行及时补货。在此基础上，考虑到订货后的生产和运输过程，使用在途库存量表示订货相对于库存补充的滞后。如此，订货→在途库存量→库存量这一负反馈回路表示了在正常消费状态与订货状态下，对库存量形成的控制。

供应链的因果关系图

在因果关系图的基础上，进一步区分变量的性质，可得到相应的流图。使用Anylogic软件，能够通过其“系统动力学”选项卡中的相应可视化界面，进行仿真模型的建立，并搭配相应的数据进行模拟。

使用Anylogic构建的库存系统流图

参考资料

1.李旭. 社会系统动力学：政策研究的原理、方法和应用[M]. 上海:复旦大学出版社,2009, 1.

2.北京格瑞纳. The Big Book ofSimulation Modeling：中文案例精选[EB/OL].(2022-04-27)[2022-04-27]./uploads/editor/20220427/b1f83d6403f59488b5e5b39f8748afc0.pdf